各校計畫成果

活動簡介

（與Evgeny Shinder 的合作工作）Cremona 群Cr(n,k) 由定義在體k 上的射影空間P^n 的雙有理變換構成。這些群龐大且結構複雜，許多自然提出的問題長期未被解決。例如，直到2010 年代初期，Cantat–Lamy、Blanc–Lamy–Zimmermann 等人才證明一般Cremona 群並非簡單群。關於生成元的基本問題過去也懸而未解：

問題：

(Dolgachev) 是否Cr(n,k) 由Aut(P^n) 與有限階元素生成？

(Cheltsov) 是否Cr(n,k) 由可正則化映射生成？

我們對每個 k-代數多樣體之間的雙有理映射 f : X - -> Y 定義不變量 c(f)，取值於由不可化約k-多樣體的雙有理型生成的自由阿貝爾群 Z[Bir/k]。我們稱 c(f) 為 f 的母題不變量（motivic invariant）。透過 c 的母題本質，此不變量具有關鍵的加法性質：

c(f ◦ g) = c(f) + c(g)

在與E. Shinder 及S. Zimmermann 的合作工作中，我們證明了對於任意定義在完美體k 上的光滑射影曲面S，任何雙有理自同構f : S - -> S 都滿足c(f)=0。相對地，我與E. Shinder 證明了以下非零結果。

定理：

母題不變量c : Cr(n,k)→Z[Bir/k] 在以下情況下非零：

• 當n=3，且k 為任意有限生成體，或滿足char(F)=0 且dimB>0 的函數體k =F(B)；

• 當n=4，且k 為特徵零的任意體；

• 當n≥5，且k 為任意無窮體。

特別地，在上述情況下，Cr(n,k) 並非簡單群。

此定理提供了一個對Cremona 群並非簡單群的嶄新解釋，與Cantat–Lamy、Blanc–Lamy–Zimmermann 的證明方法截然不同。它對生成元問題也帶來了意料之外的結論：

系理：

若n, k 如定理所述，則對於Cr(n,k)，Cheltsov 與Dolgachev 所提出的問題均有否定的答案。